Bất đẳng thức Côsin: Lý thuyết cần nhớ và các dạng bài tập thường gặp
Bất đẳng thức Côsi hay bất đẳng thức AM-GM là bất đẳng thức so sánh giữa trung bình cộng và trung bình nhân của n số thực không âm. Bài viết hôm nay sẻ giới thiệu một số kiến thức cần nhớ về bất đẳng thức Cauchy (Cossi) và một số bài tập thường gặp. Bạn tìm hiểu!
I. NHỮNG LÝ THUYẾT CẦN BIẾT VỀ TUYÊN BỐ COSIAN
1. Thế nào là bất đẳng thức Côsin?
Bạn đang xem: Bất Đẳng Thức Côsi: Lý Thuyết Cần Nhớ Và Bài Tập Thường Gặp
Tên gọi đúng của bất đẳng thức này là bất đẳng thức AM-GM. Có nhiều cách chứng minh định lý này nhưng tốt nhất là cách chứng minh quy nạp Cauchy.
Trong toán học, bất đẳng thức Cauchy là bất đẳng thức so sánh giữa trung bình cộng và trung bình nhân của n số thực không âm.
Trung bình cộng của n số thực không âm luôn lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân của chúng và trung bình cộng chỉ bằng trung bình nhân khi và chỉ khi n số bằng nhau.
+ Phương tiện:
– Bất đẳng thức cos với 2 số thực không âm:
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b
– Bất đẳng thức cos đối với n số thực không âm:
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
2. Các dạng đã nêu của bất đẳng thức Côsin
Một. Dạng tổng quát của bất đẳng thức Cossian
Đưa cho là các số thực dương, ta có:
– Hình thức 1:
– Dạng 2:
– Dạng 3:
– Mẫu 4:
– Mẫu 5:
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
b. Một dạng đặc biệt của bất đẳng thức Côsin
Là các trường hợp đặc biệt của dạng tổng quát trên khi n=2, n=3.
c. Một số bất đẳng thức suy ra từ bất đẳng thức Cauchy
d. Chú ý khi sử dụng AM – GM. bất bình đẳng
- Khi áp dụng bất đẳng thức cosin các số không được âm
- Bất đẳng thức côsi thường được áp dụng khi trong BDT cần chứng minh có tổng và tích
- Điều kiện để có dấu ‘=’ là các số bằng nhau
- Bất đẳng thức cosic cũng có dạng thường dùng
Cho hai số:
- x2+y2≥2xy.
- x2+y2≥(x+y)22
- xy≤(x+y2)2
Cho ba số: abc≤a3+b3+c33,abc≤(a+b+c3)3
3. Hậu quả Côsi . bất bình đẳng
+
+
+
+
+
4. Chứng minh Cauchy
Một. Các trường hợp tất cả các giá trị đều bằng nhau
Nếu tất cả các giá trị đều bằng nhau:
tức là tổng của chúng là nx1, vì vậy giá trị trung bình là xTrước hết; và tích của các số dưới căn bậc hai là xTrước hếtPHỤ NỮvì vậy giá trị trung bình nhân bây giờ là xTrước hết; vậy thứ nhất và thứ hai bằng nhau, điều này phải được chứng minh.
b. Các trường hợp các giá trị không bằng nhau
Nếu tất cả các giá trị bằng nhau không bằng nhau, thì giá trị trung bình lớn hơn giá trị trung bình nhân. Rõ ràng, điều này chỉ có thể xảy ra khi PHỤ NỮ> 1. Trường hợp này khá phức tạp và được chia thành nhiều trường hợp để chứng minh.
c. Trường hợp n = 2
Nếu như PHỤ NỮ= 2, có nghĩa là có hai giá trị x1 và x2, từ giả thiết trên ta có:
điều cần chứng minh.
d. Trường hợp PHỤ NỮ = 2k
Xem xét các trường hợp PHỤ NỮ= 2 kvới k là một số nguyên dương. Chúng tôi tiến hành bằng quy nạp toán học.
Trong trường hợp cơ sở,k = 1, tức là PHỤ NỮ = 2 thì bất đẳng thức đã được chứng minh ở trên.
Khi nào nó có giá trị? k> bất kỳ 1, giả sử rằng bất đẳng thức đúng cho PHỤ NỮ = 2k−1 và cần chứng minh nó vẫn đúng khi PHỤ NỮ = 2k. Để làm như vậy, các bước như sau:
đối với bất đẳng thức thứ nhất, cả hai vế chỉ bằng nhau nếu cả hai điều sau đây đều đúng:
(Trong trường hợp này, trung bình cộng đầu tiên và trung bình nhân đầu tiên làx1, và tương tự cho trung bình cộng thứ hai và trung bình nhân thứ hai); và ở bất đẳng thức thứ hai, hai vế bằng nhau chỉ khi hai giá trị trung bình cộng bằng nhau. Vì không phải cả hai k bằng nhau, không thể có cả hai bất đẳng thức bằng nhau, vì vậy chúng ta biết rằng:
(điều phải chứng minh).
D. Trường hợp PHỤ NỮ < 2k
Nếu như PHỤ NỮ không phải là số mũ tự nhiên của cơ số 2 thì chắc chắn nó nhỏ hơn một số mũ tự nhiên nào đó của cơ số 2 vì dãy 2, 4, 8,,…, 2k.. không bị chặn trên. Như vậy, không mất tính tổng quát, với TÔI giá trị tuân theo số mũ tự nhiên cơ số 2 lớn hơn PHỤ NỮ.
Vì vậy, nếu chúng ta có PHỤ NỮ số, thì chúng ta có thể biểu thị giá trị trung bình của α và khai triển như sau:
Sau đó chúng tôi có:
Vì thế
điều cần chứng minh.
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP COSCIENCE THÔNG BÁO
Một. Bài tập có đáp án:
Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức với x > 0
Trả lời:
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số x > 0 ta có:
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi (vì x > 0)
Vì vậy, tối thiểu
Bài 2: Cho x > 0, y > 0 thỏa mãn điều kiện . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
Trả lời:
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số x > 0, y > 0 ta có:
Lại áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số x > 0, y > 0 ta có:
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
Vậy minA = 4 khi và chỉ khi x = y = 4
Bài tập 3: Chứng minh rằng với ba số không âm a, b, c thỏa mãn a + b + c = 3 thì:
Nhận xét: Bài toán đạt dấu bằng nếu và chi khi a = b = c = 1. Ta sẽ dùng phương pháp cộng trừ như sau:
Trả lời:
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số không âm a, b, c ta có:
Tương tự ta có Và
Cộng cả hai vế ta có:
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1
b. Bài tập thêm:
Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:
Một, với x > 0
(gợi ý: biến đổi sau đó áp dụng bất đẳng thức Cosi)
b, với x > 0
c, với x > 2
(gợi ý: biến đổi rồi áp dụng bất đẳng thức Cosi)
Bài 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức với x > y > 0
(gợi ý: biến đổi )
Bài tập 3: Với a, b, c là các số thực không âm, hãy chứng minh:
(gợi ý áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số không âm a, b, c)
Bài 4: Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 3. Chứng minh rằng:
(khuyến nghị sử dụng phương pháp chiếm ưu thế)
Như vậy các bạn vừa tìm hiểu lý thuyết và các dạng bài tập thường gặp của bất đẳng thức Côsin. Hi vọng với những chia sẻ của cô, các em sẽ nắm chắc hơn những kiến thức Đại số 9 vô cùng quan trọng này. Xem thêm các phép biến đổi biểu thức chứa căn bậc hai tại link này!
Đăng bởi: PHÒNG GIÁO DỤC ĐÀO TẠO HUYỆN TRẠM TẤU
Bản quyền bài viết thuộc về trường pgddttramtau.edu.vn. Mọi sao chép đều là gian lận! Nguồn chia sẻ: PHÒNG GIÁO DỤC ĐÀO TẠO HUYỆN TRẠM TẤU (pgddttramtau.edu.vn)
Nhớ để nguồn bài viết này: Bất đẳng thức Cô-si: Lý thuyết cần ghi nhớ và các dạng bài tập thường gặp của website pgddttramtau.edu.vn
Những từ khóa được tìm kiếm nhiều nhất:
đẳng thức
bất đẳng thức cô si
bất đẳng thức cosin
bất đẳng thức cosi
định lý cô si