Cách giải hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn với phương pháp thế và phương pháp cộng đại số. Trong chương trình lớp 9, phương trình bậc nhất 2 ẩn có 2 phương pháp để giải, đó là phương pháp cộng đại số và phương pháp thế, có sự khác biệt nào về ưu nhược điểm của 2 phương pháp này.
Trong bài viết này, chúng ta cùng tìm hiểu 2 cách giải trên đối với phương trình bậc nhất 2 ẩn. Giải những bài tập về hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn với từng phương pháp cộng đại số và phương pháp thế, đồng thời tìm hiểu những dạng toán về phương trình bậc nhất 2 ẩn, từ đó để thấy ưu điểm của mỗi phương pháp và vận dụng linh hoạt trong mỗi bài toán cụ thể.
I. Tóm tắt lý thuyết về phương trình bậc nhất 2 ẩn
1. Phương trình bậc nhất 2 ẩn
– Phương trình bậc nhất hai ẩn: ax + by = c với a, b, c ∈ R (a2 + b2 ≠ 0)
– Tập nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn: Phương trình bậc nhất hai ẩn ax + by = c luôn luôn có vô số nghiệm. Tập nghiệm của nó được trình diễn bởi đường thẳng (d): ax + by = c
- nếu như a ≠ 0, b ≠ 0 thì đường thẳng (d) là đồ thị hàm số :
- nếu như a ≠ 0, b = 0 thì phương trình trở thành ax = c hay x = c/a và đường thẳng (d) song song hoặc trùng với trục tung
- nếu như a = 0, b ≠ 0 thì phương trình trở thành by = c hay y = c/b và đường thẳng (d) song song hoặc trùng với trục hoành
2. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn
+ Hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn: 
, trong đó a, b, c, a’, b’, c’ ∈ R
+ Minh họa tập nghiệm của hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn
– Gọi (d): ax + by = c, (d’): a’x + b’y = c’, lúc đó ta có:
- (d) // (d’) thì hệ vô nghiệm
- (d) cắt (d’) thì hệ có nghiệm duy nhất
- (d) ≡ (d’) thì hệ có vô số nghiệm
+ Hệ phương trình tương đương: Hệ hai phương trình tương đương với nhau nếu như chúng có cùng tập nghiệm
II. Cách giải hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn
1. Giải hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn bằng phương pháp cộng đại số
a) Quy tắc cộng đại số
– Quy tắc cộng đại số sử dụng để biến đổi một hệ phương trình thành hệ phương trình tương đương gồm hai bước:
– Bước 1: Cộng hay trừ từng vế hai phương trình của hệ phương trình đã cho để được một phương trình mới.
– Bước 2: sử dụng phương trình mới ấy thay thế cho một trong hai phương trình của hệ (và giữ nguyên phương trình kia).
b) Cách giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số.
– Bước 1: Nhân những vế của hai phương trình với số thích hợp (nếu như cần) sao cho những hệ số của một ẩn nào đó trong hai phương trình của hệ bằng nhau hoặc đối nhau.
– Bước 2: Sử dụng quy tắc cộng đại số để được hệ phương trình mới, trong đó có một phương trình mà hệ số của một trong hai ẩn bằng 0 (tức là phương trình một ẩn).
– Bước 3: Giải phương trình một ẩn vừa thu được rồi suy ra nghiệm của hệ đã cho.
Ví dụ: Giải những hệ PT bậc nhất 2 ẩn sau bằng PP cộng đại số:
a) 
b) 
* Lời giải:
a) 
(lấy PT(1) + PT(2))
b) 
(lấy PT(1) – PT(2))
2. Giải hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn bằng phương pháp thế
a) Quy tắc thế
– Quy tắc thế sử dụng để biến đổi một hệ phương trình thành hệ phương trình tương đương. Quy tắc thế bao gồm hai bước sau:
– Bước 1: Từ một phương trình của hệ đã cho (coi là phương trình thức nhất), ta trình diễn một ẩn theo ẩn kia rồi thế vào phương trình thức hai để được một phương trình mới (chỉ còn một ẩn).
– Bước 2: sử dụng phương trình mới ấy để thay thế cho phương trình thức hai trong hệ (phương trình thức nhất cũng thường được thay thế bởi hệ thức trình diễn một ẩn theo ẩn kia có được ở bước 1).
b) Cách giải hệ phương trình bằng phương pháp thế
– Bước 1: sử dụng quy tắc thế để biến đổi phương trình đã cho để được một hệ phương trình mới, trong đó có một phương trình một ẩn.
– Bước 2: Giải phương trình một ẩn vừa có, rồi suy ra nghiệm của hệ đã cho.
Ví dụ: Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp thế
a) 
b) 
* Lời giải:
a) 
b) 
III. Một số dạng toán phương trình bậc nhất 2 ẩn
Dạng 1: Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế
* Phương pháp: xem phần tóm tắt lý thuyết
Bài 12 trang 15 sgk toán 9 tập 2: Giải những hệ phương trình sau bằng phương pháp thế
a) 
b) 
c) 
* Giải bài 12 trang 15 sgk toán 9 tập 2:
a) 
⇒ Kết luận: hệ PT có nghiệm duy nhất (10;7)
b) 
⇒ Kết luận: hệ PT có nghiệm duy nhất (11/19;-6/19)
c) 
⇒ Kết luận: hệ PT có nghiệm duy nhất (25/19;-21/19)
* Nhận xét: Qua bài 12 này, những em thấy phương pháp thế sẽ sử dụng tiện lợi hơn khi 1 trong phương trình của hệ có những hệ số của x hoặc y là 1 hoặc -1. lúc đó chỉ cần rút x hoặc y ở phương trình có hệ số là 1 hoặc -1 này và thay vào phương trình còn lại để giải hệ.
– Đối với những hệ PT trình mà không có hệ số nào của x và y là 1 hoặc -1 thì việc sử dụng phương pháp thế làm phát sinh những phân số và việc cộng trừ dễ làm ta sơ sót hơn như bài 13 dưới đây.
Bài 13 trang 15 sgk toán 9 tập 2: Giải hệ PT sau bằng phương pháp thế
a) 
b) 
* Giải bài Bài 13 trang 15 sgk toán 9 tập 2:
a) 
⇒ Kết luận: hệ PT có nghiệm duy nhất (7;5)
b) 
⇒ Kết luận: hệ PT có nghiệm duy nhất (3;3/2)
Dạng 2: Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số
* Phương pháp: xem phần tóm tắt lý thuyết
Bài 20 trang 19 sgk toán 9 tập 2: Giải những hệ PT sau bằng PP cộng đại số
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
* Lời giải bài 20 trang 19 sgk toán 9 tập 2:
a) 
Lưu ý: Lấy PT(1)+PT(2)
⇒ Kết luận: hệ PT có nghiệm duy nhất (2;-3)
b) 
Lưu ý: Lấy PT(1)-PT(2)
⇒ Kết luận: hệ PT có nghiệm duy nhất (2;-3)
c) 
(Nhân 2 vế PT(2) với 2 để hệ số của x ở 2 PT bằng nhau)
(lấy PT(1) – PT(2))
⇒ Kết luận: hệ PT có nghiệm duy nhất (2;-3)
d) 
(Nhân 2 vế PT(1) với 3, 2 vế PT(2) với 2)
(Lấy PT(1)-PT(2))
⇒ Kết luận: hệ PT có nghiệm duy nhất (-1;0)
e) 
(Nhân 2 vế PT(1) với 5)
(Lấy PT(1)-PT(2))
⇒ Kết luận: hệ PT có nghiệm duy nhất (5;3)
* Nhận xét: Khi không có bất kỳ hệ số nào của x, y là 1 hay -1 thì phương pháp cộng đại số giúp những em đỡ nhầm lẫn hơn trong phép tính.
Dạng 3: Giải hệ phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ
* Phương pháp:
– Bước 1: Đặt điều kiện để hệ có nghĩa
– Bước 2: Đặt ẩn phụ và điều kiện của ẩn phụ
– Bước 3: Giải hệ theo những ẩn phụ đã đặt (sử dụng pp thế hoặc pp cộng đại số)
– Bước 4: Trở lại ẩn ban đầu để tìm nghiệm của hệ
Ví dụ: Giải hệ phương trình sau
a) 
b) 
* Lời giải:
a) Điều kiện: x, y ≠ 0 (mẫu số khác 0).
Đặt: 
ta có hệ ban đầu trở thành:
– trở lại ẩn ban đầu x và y ta có:
⇒ thỏa điều kiện, nên hệ có nghiệm duy nhất (1;1)
b) Điều kiện: x ≠ -1 và y ≠ 3 (mẫu số khác 0)
Đặt: 
ta có hệ ban đầu trở thành:
Trở lại ẩn ban đầu x và y ta có:
⇒ thỏa điều kiện, nên hệ có nghiệm duy nhất (-5/4;6)
Dạng 4: Xác định tọa độ giao điểm của 2 đường thẳng
* Phương pháp:
– Tọa độ giao điểm chính là nghiệm của hệ được tạo bởi 2 phương trình đường thẳng đã cho.
Ví dụ: Tìm tọa độ giao điểm của 2 đường thẳng sau:
a) d1: 2x – y = 3 và d2: x + y = 3
b) d1: 2x + y = 5 và d2: x – 3y = 6
* Lời giải:
a) Tọa độ điểm I là giao của d1 và d2 là nghiệm của hệ: 
– Giải hệ bằng 1 trong 2 phương pháp cộng đại số hoặc thế:
⇒ Tọa độ giao điểm I của d1 và d2 là (2;1).
b) Tọa độ điểm I là giao của d1 và d2 là nghiệm của hệ: 
⇒ Tọa độ giao điểm I của d1 và d2 là (4;-2).
Dạng 5: Giải và biện luận hệ phương trình
* Phương pháp:
+ Từ một phương trình của hệ, rút y theo x (sử dụng phương pháp thế) rồi thay vào phương trình còn lại để được phương trình dạng ax +b = 0, rồi thực hiện những bước biện luận như sau:
– nếu như a ≠ 0, thì x = b/a; thay vào biểu thức để tìm y; hệ có nghiệm duy nhất.
– nếu như a = 0, ta có, 0.x = b:
_ nếu như b = 0 thì hệ có vô số nghiệm
_ nếu như b ≠ 0 thì hệ vô nghiệm
Ví dụ: Giải biện luận hệ phương trình sau: 
* Lời giải
– Từ PT(1) ta có: y = mx – 2m, thế vào PT(2) ta được:
x – m(mx-2m) = m + 1
⇔ x – m2x + 2m2 = m + 1
⇔ (1 – m2)x = -2m2 + m + 1
⇔ (1 – m)(1 + m)x = 1 – m2 + m – m2
⇔ (1 – m)(1 + m)x = (1 – m)(1+m)+ m(1 – m)
⇔ (1 – m)(1 + m)x = (1 – m)(1+m)+ m(1 – m)
⇔ (1 – m)(1 + m)x = (1 – m)(1+2m) (3)
* nếu như m ≠ ±1, ta có: 
lúc đó: 
⇒ Hệ có nghiệm duy nhất: 
* nếu như m = -1, thay vào (3) ta được: 0.x = -2 ⇒ hệ vô nghiệm
* nếu như m = 1, thay vào (3) ta được: 0.x = 0 ⇒ hệ có vô số nghiệm, tập nghiệm (x;x-2)
– nếu như m = -1, hệ vô nghiệm
– nếu như m = 1, hệ có vô số nghiệm, tập nghiệm (x;x-2)
– nếu như m ≠ ±1, hệ có nghiệp duy nhất:
Dạng 6: Xác định thông số m để hệ PT thoả mãn điều kiện về nghiệm số
* Phương pháp:
– Giải hệ phương trình tìm x, y theo m
– Với điều kiện về nghiệm số của đề bài tìm m
Ví dụ: Cho hệ phương trình: 
tìm trị giá a ∈ Z, để hệ có nghiệm (x;y) với x,y ∈ Z
* Lời giải:
– Từ PT(2) ta có: x = a2 + 4a – ay, thế vào PT(1) được
(a+1)(a2 + 4a – ay) – ay = 5
⇔ a(a+2)y = a3 + 5a2 + 4a – 5 (*)
– nếu như a = 0 hoặc a = -2 thì (*) vô nghiệm
– nếu như a ≠ 0 và a ≠ -2 thì: 
⇒ 
– Trước hết tìm a ∈ Z để x ∈ Z
– Để x ∈ Z thì a + 2 ∈ Ư(1) ⇒ a + 2 = ±1 ⇒ a = -3 hoặc a = -1
Với a = -3 ⇒ 
Với a = -1 ⇒ y = 5
⇒ Vậy với a = -1 hệ có nghiệm nguyên là (2;5)
Hy vọng với bài viết về cách giải phương trình bậc nhất 2 ẩn bằng phương pháp cộng đại số và phương pháp thế ở trên hữu ích cho những em. Mọi thắc mắc hay góp ý những me hãy để lại lời nhắn dưới phần bình luận để thầy cô trường THPT thành phố Sóc Trăng ghi nhận và hỗ trợ, chúc những em học bài tốt.
Bản quyền bài viết thuộc THPT Lê Hồng Phong. Mọi hành vi sao chép đều là gian lận!
Nguồn chia sẻ:
Cách giải hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn với phương pháp thế và phương pháp cộng đại số – Toán lớp 9
Bạn thấy bài viết Cách giải hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn với phương pháp thế và phương pháp cộng đại số – Toán lớp 9 có khắc phục đươc vấn đề bạn tìm hiểu ko?, nếu ko hãy comment góp ý thêm về Cách giải hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn với phương pháp thế và phương pháp cộng đại số – Toán lớp 9 bên dưới để pgddttramtau.edu.vn có thể thay đổi & cải thiện nội dung tốt hơn cho các bạn nhé! Cám ơn bạn đã ghé thăm Website: pgddttramtau.edu.vn của PHÒNG GIÁO DỤC ĐÀO TẠO HUYỆN TRẠM TẤU
Nhớ để nguồn bài viết này: Cách giải hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn với phương pháp thế và phương pháp cộng đại số – Toán lớp 9 của website pgddttramtau.edu.vn
Chuyên mục: Văn học
